Advanced Search
Nenad Bach - Editor in Chief

Sponsored Ads
 »  Home  »  Učimo od drugih - We learn from others  »  Stanko Bilinski's rhombic dodecahedron discovered in Croatia in 1960 and nicely described by Matt Parker
 »  Home  »  Science  »  Stanko Bilinski's rhombic dodecahedron discovered in Croatia in 1960 and nicely described by Matt Parker
 »  Home  »  People  »  Stanko Bilinski's rhombic dodecahedron discovered in Croatia in 1960 and nicely described by Matt Parker
 »  Home  »  In Memoriam  »  Stanko Bilinski's rhombic dodecahedron discovered in Croatia in 1960 and nicely described by Matt Parker
 »  Home  »  Entertainment  »  Stanko Bilinski's rhombic dodecahedron discovered in Croatia in 1960 and nicely described by Matt Parker
 »  Home  »  Education  »  Stanko Bilinski's rhombic dodecahedron discovered in Croatia in 1960 and nicely described by Matt Parker
Stanko Bilinski's rhombic dodecahedron discovered in Croatia in 1960 and nicely described by Matt Parker
By Darko Žubrinić | Published  10/15/2016 | Učimo od drugih - We learn from others , Science , People , In Memoriam , Entertainment , Education | Unrated
Stanko Bilinski's results are cited and discussed by distinguished geometers like Coxeter, Grünbaum and others

Stanko Bilinski 1909-1998, Croatian mathematician, discoverer of rhombic dodecahedron in 1960,
also called the Bilinski dodecahedron. His short biography in Croatian can be seen here: [PDF].

Academician Stanko Bilinski 1909-1998, was distinguished Croatian mathematician, an expert in in the field of Geometry. In 1960, he discovered the rhombic dodecahedron. A consequence of the the results from his PhD dissertation defended in 1944 (and published in 1948, both at the University of Zagreb) is that there are precisely 14 semiregular (Archemidian) polyhedra. His results are cited and discussed by distinguished geometers like Coxeter, Grunbaum, Miyazaki, Tekada, and others. In 2016, Matt Parker of the University of London (Queen Mary) created a very interesting and entertaining video in Dubrovnik, dealing with this nice geometric object.

The above video by Matt Parker has been created in the city of Dubrovnik in May 2016. Many thanks to Professor Neven Elezović for pointing this out.

Stanko Bilinski as a child, probably in his native town of Našice on the north of Croatia.
Photo by the courtesy of Jasmina Reis, curator of the Šenoa House in Zagreb.

Paula Ištvanić Bilinski, mother of Stanko Bilinski. She was a (half)sister of Slava Šenoa (b. Ištvanić),
who was married to August Šenoa, distinguished Croatian writer.
Photo by the courtesy of Jasmina Reis, Zagreb.

The Bilinski dodecahedron, and assorted parallelohedra, zonohedra,
monohedra, isozonohedra and otherhedra

Branko Grunbaum

Fifty years ago Stanko Bilinski showed that Fedorov's enumeration of convex polyhedra having congruent rhombi as faces is incomplete, although it had been accepted as valid for the previous 75 years. The dodecahedron he discovered will be used here to document errors by several mathematical luminaries. It also prompted an examination of the largely unexplored topic of analogous non - convex polyhedra, which led to unexpected connections and problems.


To summarize the situation concerning dodecahedral rhombic mono-hedra, we have the following polyhedra of spherical type:

Two convex dodecahedra (Kepler's and Bilinski's);

Three simply indented dodecahedra (one from Kepler's polyhedron, two from Bilinski's)

One doubly indented dodecahedron (from Bilinski's polyhedron).

The above text is a short excerpt from the following very detailed study:

Grunbaum, Branko (2010), "The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra" [PDF], The Mathematical Intelligencer, 32 (4): 5–15,

It is available via the following source: Stanko Bilinski, Wikipedia

Stanko Bilinski: Problem parketiranja [PDF], Matematičko fizički list, LXVII (2016.-2017.)
Many thanks to Dr. Željko Hanjš, editor in chief of this journal, for sending us the article.

Asia Ivić (then assistant at the Department of Mathematics of the University of Zagreb), Professor Stanko Bilinski
and Mirko Polonijo in June 1975. Photo by the courtesy of Professor Mirko Polonijo.

Bilinski dodecahedron which you can rotate with your mouse.

Bust of Stanko Bilinski in front of the Iso Kršnjavi High School in Našice, Bilinski's native town.
Photo by the courtesy of Željko Filjak, director of the school,
where there is the Stanko Bilinski Geometry School founded in 2011.

Akademik Stanko Bilinski (1909. - 1998.)
Životni put i pogledi na matematiku

Mirko Polonijo

U ponedjeljak 6. travnja 1998. godine u VaražŒdinu je nakon kraće bolesti preminuo akademik Stanko Bilinski, umirovljeni redoviti profesor MatematičŒkog odjela Prirodoslovno-matematičŒkog fakulteta SveučŒilišŒta u Zagrebu, značŒajni i zaslužŒni hrvatski geometričŒar koji je svojim dugogodišŒnjim marljivim i plodonosnim znanstvenim, nastavnim i drušŒtvenim radom i djelovanjem ostavio neizbrisiv trag u našŒoj matematici, višŒestruko zadužŒivšŒi našŒu matematičŒku znanost, kao i svoje mnogobrojne kolege i učenike. Sprovod je bio dva dana kasnije, u srijedu 8. travnja na zagrebačŒkom groblju Mirogoj.

Profesor Bilinski, kako smo mu se obraćali svi mi koji smo ga poznavali, rođen je u NašŒicama 22. travnja 1909. godine, istog datuma i u istom gradu kao Izidor KršŒnjavi (1845.), volio je naglasiti.
Majka mu se zvala Paula rođena IšŒtvanić (bila je sestra Slave IšŒtvanić, supruge Augusta Šenoe). Otac Stanko rodio se u Beču, a u NašŒicama je bio šŒumar kod grofa PejačŒevića. Djed s očeve strane, Hipolit, rođen je u Poljskoj, a doselivši u BečŒ završŒio je studij farmacije te kasnije u Pregradi otvorio apoteku.

Profesor Bilinski je imao tri sestre: Petru (rođ. 1904.), Maru (rođ. 1905.) i Dragu (rođ. 1911.).
KlasičŒnu gimnaziju polazio je u Vinkovcima i Zagrebu, a 1932. godine diplomirao je na Filozofskom fakultetu u Zagrebu, grupu za teorijsku matematiku. Zatim je od 1934. do 1940. godine kao gimnazijski profesor poučŒavao matematiku u VaražŒdinu (FranjevačŒka klasičŒna gimnazija), Skoplju i SušŒaku. U to se vrijeme, 1937. oženio sa Zlatom rođ. Crnić (1908. - 1992.); imali su dvoje djece: Halku (rođ. 1938.; ima sina Stanislava) i Vandu (rođ. 1944.; ima sinove Miroslava i Ratka).

Academician Stanko Bilinski, second from the left. Left to him Professor Vladimir Vranić.
First in the second row (on the right) academician Danilo Blanuša.
Photo by the courtesy of the author of the text.

Vraća se u Zagreb, te od 1940. do 1946. godine radi kao asistent u GeofizičŒkom zavodu, gdje se bavio meteorologijom, posebice dinamikom grmljavinskih oblaka. Međutim, njegova je prava i istinska ljubav matematika, točnije geometrija, kojoj će posvetiti cijeli svoj žŒivot. Stoga istodobno radi na doktorskoj disertaciji s temom o homogenim mrežŒama u ravnini. Doktorirao je 1944. godine i stekao naslov doktora filozofskih znanosti. Promoviran je 31. srpnja 1944. pred povjerenstvom koje su čŒinili rektor BožŒidar ŠŒpišŒić, dekan Antun Mayer i promotor Rudolf Cesarec. Bio je to trinaesti doktorat iz područŒja matematike obranjen na zagrebačŒkom sveučŒilišŒtu (prvi je postigao David Segen 1889. godine), ujedno posljednji matematičŒki doktorat postignut na Filozofskom fakultetu.

Od 1946. godine, kada je izdvajanjem matematičŒko-prirodoslovnog odjela iz Filozofskog fakulteta osnovan Prirodoslovno-matematičŒki fakultet SveučŒilišŒta u Zagrebu, profesor Bilinski radi u Geometrijskom zavodu toga fakulteta. ZapočŒeo je kao asistent, zatim je bio docent (1948.), pa izvanredni profesor (1952.) i od 1956. godine je redoviti profesor.

Godine 1949. postaje predstojnikom Geometrijskog zavoda i tu će dužŒnost obavljati sve do umirovljenja 1978. godine (Zavod za geometriju je svoje djelovanje započŒeo jošŒ davne 1898. godine kao Katedra za deskriptivnu geometriju na tada osnovanoj ŠŒumarskoj akademiji "€prislonjenoj"€ na Mudroslovni fakultet; prvi je voditelj/predstojnik bio već spomenuti David Segen).

I nakon odlaska u mirovinu profesor je Bilinski dugi niz godina aktivno i vrijedno sudjelovao u radu Zavoda i njegovog znanstvenog seminara, izlažŒući rezultate svojih istražŒivanja. Pozorno je pratio, poticao i komentirao rad svojih mlađih kolega, suradnika i uženika. Upravo je u okviru Geometrijskog seminara profesor Bilinski održao svoje posljednje predavanje na našŒem SveučŒilišŒtu, bilo je to 31. svibnja 1993., naslov predavanja "Porodica otupljenih kvaziregularnih poliedara".

Svoje zapažŒeno matematičŒko djelovanje profesor Bilinski provodio je i kroz DrušŒtvo matematičŒara i fizičŒara, jedan je od njegovih utemeljitelja 1949. godine (odnosno 1945. kada je osnovana matematičŒko-fizičŒka sekcija Hrvatskog prirodoslovnog društva) i vrlo aktivnih čŒlanova; pored ostalih dužnosti, bio je i predsjednik DrušŒtva od 1959. do 1961. godine.

Profesor Bilinski je kao predstavnik našŒih matematičŒara sudjelovao i u radu međunarodnih matematičŒkih udruga (Internacionalna matematičŒka unija, Unija matematičŒara Balkana).

MatematičŒko-fizičŒka sekcija Hrvatskog prirodoslovnog drušŒtva počela je 1946. godine s izdavanjem znanstvenog čŒasopisa Glasnik matematičŒko - fizičŒki i astronomski (koji je izlazio do 1965. godine, kada se dijeli na dva čŒasopisa: "Glasnik matematički" i "Fizika"), čŒiji je dugogodišŒnji glavni i odgovorni urednik bio profesor Bilinski (samostalno od 1951. do 1954. godine, zajedno sa Zlatkom Jankovićem od 1955. do 1958. godine, zajedno s Pavlom Papićem od 1959. do 1962. godine). U tom je razdoblju časopis izrastao u uglednu i priznatu matematičŒku publikaciju, te je razmjenom omogućio pritjecanje velikog broja inozemnih matematičŒkih čŒasopisa u našŒu sredinu.

U razdoblju od 1961. do 1974. znanstveni je rad u matematici bio organiziran u okviru Instituta za matematiku SveučŒilišŒta u Zagrebu, na čŒijem je čŒelu kao direktor profesor Bilinski radio od 1962. do 1968. godine.

Dužnost dekana Prirodoslovno-matematičŒkog fakulteta obnašao je šŒkolske godine 1956./57. Profesor Bilinski je bio dugogodišŒnji čŒlan Jugoslavenske, odnosno Hrvatske akademije znanosti i umjetnosti; čŒlan dopisnik u radnom sastavu (ekvivalent današŒnjem izvanrednom čŒlanu) od 1963. godine, a pravi (redoviti) čŒlan od 1985. godine. Unutar akademijinog II razreda za matematičŒke, fizičŒke, kemijske i tehničŒke znanosti djelovao je marljivo i zapažŒeno. Zahvaljujući njegovom trudu mnogi su strani matematičari, posebice geometričŒari, održali predavanja u Akademiji. Osobito je zaslužŒan za pokretanje posebnim tematskih svezaka akademijinog Rada; svesci matematičŒkih znanosti izlaze od 1982. godine. Profesor Bilinski je nad njima stalno bdio potičŒući nasš i strane autore pa nije neobično da u svescima prevladavaju geometrijski sadržŒaji. Svesci matematičŒkih znanosti akademijinog Rada izrasli su u značajni međunarodi matematičŒki čŒasopis.

Međunarodnu je priznatost profesor Bilinski doživio i izborom u Austrijsku akademiju znanosti, kao dopisni čŒlan od 1980. godine. Za svoj znanstveni rad dobio je profesor Bilinski 1967. godine nagradu Ruđer BošŒković, a 1980. držŒavnu (republičŒku) Nagradu za žŒivotno djelo.

Svojim znanstvenim talentom i zalaganjem, šŒirokim znanjem i velikom radnom energijom, kroz dugu profesionalnu karijeru, profesor Bilinski je dao značŒajan znanstveni doprinos koji u svojoj cjelokupnosti gotovo potpuno pripada geometriji. Napisao je preko pedeset znanstvenih i stručŒnih radova, a posljedni je znastveni rad objavio 1995. godine kad je već navršŒio 86 godina.

Geometrija je znanstvena okosnica i konstanta tog plodnog i vrijednog žŒivota. Profesor Bilinski je cijenjen u međunarodnim geometrijskim krugovima, spominjan i navođen u mnogim značŒajnim monografijama. Kako to obično biva, na znanstvenom područŒju, međunarodna priznatost profesora Bilinskog bila je veća od one koju mu je iskazivala domaća sredina. Njegove su preporuke otvarale vrata kod vrhunskih matematičŒara, na svakom geometrijskom skupu za njega su pitali, iskazujući pošŒtovanje njegovu radu, pozivali su ga i u visokim godinama na međunarodne znanstvene skupove, a on je odlazio i bio s uvažŒavanjem slušŒan i pitan.

O svojim znanstvenim rezultatima profesor Bilinski je izlagao na mnogobrojnim međunarodnim skupovima, simpozijima i kongresima (Amsterdam, Edinbourgh, Stockholm, Moskva, Nice, Sofija, Carigrad, BukurešŒt, Varna, Weimar, BečŒ, Graz, Oberwolfach), bio je redoviti sudionik domaćih znanstvenih susreta, te često pozivan na strana i domaća sveučŒilišŒta.

Profesor Bilinski je bio vrstan profesor, odličŒan predavačŒ i pažŒljivi poučavatelj, znalačŒki pedagog, kojeg je resila očŒinska blagost i smirenost u obraćanju studentima i kolegama. Studenti su ga cijenili, pošŒtovali i voljeli, mnogi od njih i danas predaju matematiku ili fiziku na našŒim osnovnim i srednjim školama ili pak sveučŒilišŒtima. Zahvaljujući njegovim predavanjima mnogih i raznovrsnih geometrijskih kolegija bilo je lako zavoljeti i razumjeti geometriju, a neke je svoje studente privukao da se odluče i za znanstveni rad u tom područŒju. Predavao je i na poslijediplomskom studiju, bio mentor većem broju postdiplomanada, te šŒestorici doktoranada. Volio je šŒalu, ugodno drušŒtvo, bio je veliki poklonik glazbe i ljubitelj prirode.

Svojim dugim i plodnim znanstvenim, stručnim i nastavničŒkim radom profesor Bilinski podario je mnogo i mnogima: onima koji su toga svjesni već odavno, onima koji će to tek biti, i onima koji to neće ni znati. Bio je ljubitelj i zaljubljenik geometrije, njezin šŒtovatelj i vrsni znalac, ali također vješt graditelj i uspješŒni doprinositelj.

Kao predsjednik DrušŒtva matematičŒara i fizičŒara, 27. 1. 1960. godine na XI. redovitoj godišŒnjoj skupšŒtini Društva, profesor Bilinski je održŒao govor pod naslovom "Ekonomsko i kulturno značŒenje matematike" [S6]. Iduće je godine, 25. 1. 1961. naslov njegovog predsjedničŒkog govora bio "Utjecaj otkrića neeuklidske geometrije na savremani razvoj nauke" [S7]. Ti zanimljivi i poticajni predsjedničŒki govori jasno iskazuju i otkrivaju poglede, razmišŒljanja i stavove profesora Bilinskog o matematici i aktualnim kretanjima u njoj, istodobno dozivajući njegov glas svima koji su ga poznavali. Zato ćemo u daljnjem tekstu navesti dijelove spomenutih govora.

Govor "Ekonomsko i kulturno značŒenje matematike" [S6] započŒinje slikovitim iznošŒenjem jednog mišŒljenja izrečenog u staroj Ȍitaonici na Marulićevom trgu 19 (tada je voditeljica Čitaonice DrušŒtva matematičŒara i fizičara bila draga i nezaboravna Nada Hofman (1908 – 1997)).

Prije nekog vremena u Ȍitaonici našŒeg DrušŒtva bio se poveo razgovor općenito o matematici. Jedan je našŒ mlađi kolega tom prilikom izjavio otprilike ovo: "Mi smo matematičŒari pomalo sličŒni šŒahistima. Postavljamo neke probleme i rješŒavamo ih sebi na veselje i zabavu; samo je čŒudno da nas za to jošŒ i plaćaju."€ To mišŒljenje daje povod i mogućnost profesoru Bilinskom da opišŒe svoje gledanje na položŒaj matematičŒara s obzirom na prihvaćenost njegova znanstvena djela.

A group of Croatian mathematicians in Sarajevo (Baščaršija): from right to left - Vladimir Vranić with his wife, Zlatko Janković, Stanko Bilinski, Danilo Blanuša, Pavle Papić, probably Ignac Smolec (according to information by Kroacija Kučera) and an unknown woman. Photo by the courtesy of Mladen Vranić of the University of Toronto.

Upusti li se pak neki matematičar u borbu s nekim matematičŒkim problemom, kojeg je on sam ili neko drugi postavio, sam tok te borbe bit će za publiku posve neinteresantan. Pa i u slučŒaju da matematičŒar postavljeni problem svlada i da rezultat svega toga bude objavljen u nekom naučŒnom čŒlanku, taj će rezultat biti neinteresantan za šŒiru publiku, a ponekad i za veliku većinu samih matematičara. U čŒitanju tog čŒlanka užŒivat će, možŒda, samo desetak njih, i to onih koji su specijalisti baš u užŒem područŒju postavljenog problema. OčŒito je, dakle, da između šaha i matematike postoji razlika.

Zatim će, nakon duhovite primjedbe, profesor Bilinski izložŒiti jošŒ jednu sliku, drugačŒiji pogled na korisnost i smislenost matematičŒkog djelovanja. No kad sam već počeo s indiskretnim iznošŒenjem diskretnih razgovora među matematičŒarima, neka mi bude dopušŒteno da jošŒ malo tako i nastavim.

Jedan drugi od našŒih mlađih kolega, koji se bavi izvjesnim modernim, a vrlo apstraktnim područŒjem matematike (nazovimo ga teorija A), uvjeravao je nedavno jednog našŒeg kolegu fizičŒara o velikoj vrijednosti pa čŒak i praktičŒnom značŒenju i primjenjivosti teorije A. Za dokaz je iznosio neke rezultate jednog sovjetskog matematičŒara koji je na osnovi teorije A uspio rješavati probleme jedne druge, klasičŒne matematičŒke teorije, koja ima mnogostrane praktičŒne primjene u egzaktnim naukama.

Evo, dakle, bitno različŒitih izjava dvaju našŒih matematičŒara o značŒenju, koristi i ulozi matematike. Koja je od njih ispravna? Ili bolje, koja je od njih ispravnija? Odmah će nastaviti iskazujući svoje mišŒljenja o odnosu znastvenika/matematičŒara i njegova znanstvena područŒja. No prije nego pokušŒamo na to pitanje dati odgovor, osvrnimo se malo na psihološŒki karakter ovih dviju izjava.

Normalno je da ljudi pridaju znatnu važŒnost svom vlastitom radu i da visoko cijene objekt svog vlastitog interesa i zanimanja, pa da ga smatraju korisnim, pogotovo onda, ako su ga sami slobodno i po svojoj volji odabrali. Samo onaj se usuđuje govoriti o tom objektu u šŒali i s prividnim omaložŒavanjem, kod koga postoji nesumnjiva vjera u vrijednost tog objekta. To je, eto, bio slučŒaj kod prve od gornjih izjava.

No kod nekih ljudi kadgod ipak ne postoji dovoljno vjere u vrijednost i važnost objekta vlastitog interesa. Takvi neće propustiti priliku, da uvjere druge, a pogotovo same sebe o toj vrijednosti. Ȍini mi se, eto, da bi to moglo biti u slučŒaju druge izjave.

Sada profesor Bilinski počŒinje odgovarati na zadatak postavljen naslovom predavanja. Pređimo sada na samu stvar i pokušajmo uočŒiti značŒenje matematike za ljudsku zajednicu i koristi šŒto ih ona pružŒa, odnosno, šŒto bi ih ona mogla pružiti. No žŒelim pritom istaći, da su gledišŒta koja će ovdje biti iznesena posve subjektivne prirode i bez pretenzija na nepogrešŒivost i trajnu valjanost. ZnačŒenje matematike, kao uostalom i većine drugih nauka, je dvojako. Tako možŒemo govoriti o njezinom ekonomskom i njezinom kulturnom značŒenju.

Prvo od tih značŒenja odnosi se na pomoć matematike koju ona pružŒa u svladavanju prirode za dobivanje materijalnih dobara, potrebnih za zadovoljavanje svakodnevnih žŒivotnih potreba. Ova pomoć možŒe biti neposredna, kad se direktnom primjenom matematike u tok proizvodnih procesa i u privredi dolazi do povećanja same proizvodnje ili do njenog poboljšŒanja u bilo kojem pogledu. No ta pomoć možŒe biti i posredna, kada matematika, kao najopćenitija nauka, počinje kao prva stepenica u nizu uzastopnih primjena, pa npr. preko teoretske fizike, fizike, kemije i pojedinih tehničkih nauka djeluje u unapređivanju industrijske proizvodnje. Tu se dakle radi o konkretnoj primjeni matematike pa kad se općenito govori o koristi matematike za ljudsku zajednicu, onda se ponajčŒešŒće, a gotovo i isključŒivo, misli upravo na ovu korist. Ova primjena matematike naglo raste s napretkom civilizacije, a s njom i uloga matematike u povećanju materijalnog blagostanja ljudske zajednice. Već odavna nitko ne sumnja u veliku primjenjivost matematike u egzaktnim i tehničŒkim naukama, a od počŒetka ovog stoljeća brzo se krčŒi put primjene matematike u mnogim drugim, a naročŒito u biološŒkom, medicinskom i ekonomskim naukama.

Professor Stanko Bilinski on the right, at the Annual Meeting of the
International Mathematical Union in the Hague. On the left Professor Gjuro Kurepa.
Photo by the courtesy of the author of the text.

U posljednjim decenijama došlo se do spoznaje o velikoj koristi od neposredne primjene matematike u privredi, u proizvodnim procesima i u njihovoj organizaciji. U zemljama na visokom stupnju civilizacije postavljaju se danas matematičari na takve položaje i daju im se takva zadužŒenja na koja se prije nije ni pomišŒljalo. Tako npr. u Engleskoj postoje tvornice, u kojima su na rukovodećim položŒajima ljudi, koji su diplomirani matematičŒari odnosno doktori matematike. MatematičŒare postavljaju redovno na takva mjesta, gdje treba rješŒavati probleme, koji nisu tipičŒni, koji se, dakle, ne rješŒavaju šablonski, i za njih ne postoje već gotovi recepti, formule i postupci. Tako u velikoj mjeri uposluju matematičŒare velika industrijska poduzeća, a čŒak i naučŒnoistražŒivački instituti vojske, mornarice i avijacije. Dakako da tu veliku ulogu igraju i moderni račŒunski strojevi.

Međutim, profesor Bilinski naglašŒava da sve izrečeno nije glavna vrijednost matematike.
Pa ipak, i pored svih mnogostranih koristi, šŒto ih matematika svojim posrednim i neposrednim primjenama pružŒa čŒovječŒanstvu u unapređivanju njegovog materijalnog blagostanja, smatram da njezina glavna vrijednost ne ležŒi u tom - kako smo ga nazvali - ekonomskom značŒenju. Matematika daje mogućnost da čŒovjek upoznaje realni odnos stvari u prirodi, pa da tako zadovolji svoju osnovnu kulturnu potrebu za upoznavanjem ovog svijeta u kojem se rodio, do krajnjih granica mogućnosti. Ova žŒeđ čŒovjeka da pronikne u sušŒtinu svega šŒto ga okružŒuje, isto je takva osnovna kulturna potreba, kao i težŒnja za estetskim dožŒivljajem, tj. kao i potreba umjetnosti. ŽŒivot u kojem ne bi postojala mogućnost zadovoljavanja ovih osnovnih kulturnih potreba bio bi posve bezvrijedan, pa i pored najvećeg materijalnog blagostanja i mogućnosti potpunog zadovoljavanja svih vegetativnih potreba.

I ovo kulturno značŒenje matematike očŒituje se na dva načŒina. Njezina pomoć možŒe biti posredna. U tom slučŒaju matematika pomaže drugim naukama: astronomiji, fizici, kemiji, biologiji itd. u njihovom otkrivanju prirodnih zakonitosti. No samo neke matematičŒke teorije, ili bolje, neki dijelovi nekih matematičŒkih teorija, podesni su za ovu primjenu. Druge teorije zanimljive su i same po sebi. One nam daju neposredno uvid u realni svijet, otkrivajući raznovrsne kvalitativne i kvantitativne odnose stvari u svijetu. To, ćŒto su te teorije čŒesto puta i vrlo apstraktne, ne umanjuje njihovu spoznajnu vrijednost, nego nam, naprotiv, s jednog višŒeg stanovišŒta pokazuje strukturno-logičku srodnost mnogih realno posve raznorodnih materijalnih sistema stvari u prirodi. Ovako shvaćena, matematika je prirodna nauka. Ona nam otkriva matematičŒku strukturu svemira; ona je zapravo samo jedan dio kosmologije.

U jednom ranijem čŒlanku, "Hoćemo li studirati matematiku?" [S5], namijenjenom srednjošŒkolcima, profesor Bilinski je gornje misli o značŒenju matematike kratko sažŒeo u rečŒenicu:

"Velike, opsežne i mnogostruke su njezine primjene. No najveće njezino značŒenje je u njezinoj unutarnjoj kulturnoj vrijednosti, a o ovoj vrijednosti nije lako steći jasniju predodžbu samo na osnovu poznavanja srednjošŒkolske matematike."

U istom je tekstu usporedio znanstveni rad u matematici i u drugim znanostima. Pritom postoji jedna bitna razlika između naučnog rada u matematici i u ostalim naukama. Dok se u ostalim naukama vrlo čŒesto u isti mah gradi i razgrađuje, jer nove teorije nadomješŒtaju one starije, koje se zabacuju pa postaju suvišŒne, ili se znatno izmjenjuju, dotle se u matematici od samog njenog počŒetka samo gradi. Što je jednom u njoj dokazano kao ispravno, ostaje tako zauvijek. Zato je današnja zgrada matematike golema. JošŒ prije nekih 150 godina bilo je moguće da jedan jedini čŒovjek upozna sva dotadašnja otkrića u područŒju matematike. No danas i najveći matematičŒari za cijelog svog života mogu upoznati samo jedan posve maleni njezin dio. MožŒda je zato i lakšŒe razumjeti čŒinjenicu da se definicije same matematike, šŒto su ih dali razni matematičŒari, toliko međusobno razlikuju da nijedna nije općenito usvojena. No, postoji veliki broj izjava o matematici kao nauci, koje nju manje ili višŒe točno karakteriziraju. Tako je matematičŒar Ulam jednom prilikom, napola u šŒali, rekao da je matematika metoda "€čŒiniti najbolje"€. Ako bi se, naime, jednoj skupini ljudi - a među njima i matematičŒaru - odredilo da obave neki posao, a nitko od njih prije toga nišŒta sličŒnoga nije radio, matematičŒar bi to učŒinio bolje od ostalih. To dakako treba shvatiti onako kako je i rečŒeno, tj. ne doslovce.

Professor Stanko Bilinski playing piano at home.
Photo by the courtesy of the author of this text.
Behind him Lukas Zett. Information by the courtesy of Mrs. Vanda Bilinski.

PredsjedničŒki govor "Utjecaj otkrića neeuklidske geometrije na savremeni razvoj nauke" [S7] započŒinje zanimljivom napomenom o međusobnoj zavisnosti znanstvenih otkrića i mogućnosti procjene njihova utjecaja.

Radi tijesne povezanosti i međusobne uvjetovanosti naučŒnih otkrića, pojedinih dijelova nauke i nauke u cjelini, tešŒko da je i moguće govoriti o tome kako je neko naučŒno otkriće imalo utjecaja na daljni razvoj nauke. Pa ipak, vidljivi trag, šŒto ga je iza sebe ostavilo otkriće neeuklidske geometrije u toku kasnijeg razvoja nauke, tako je nesumnjiv i izrazit, da nije moguće ne zapaziti ga sve do današnjih dana.

U tom radu profesor Bilinski otvoreno iznosi svoje mišŒljenje o trojici otkrivaćŒa neeuklidske geometrije i svoje gledanje na Gaussovo ponašanje u svezi s otkrićem neeuklidske geometrije. Do otkrića neeuklidske geometrije došŒao je Gauss jošŒ prije rođenja LobačŒevskoga i Bolyaja, no za svog žŒivota nišŒta o tom nije objelodanio. Kada mu je njegov šŒkolski drug FarkašŒ Bolyai, otac Janoša, poslao rad svoga sina, Gauss mu je odgovorio, da taj rad sadržŒi rezultate njegovih vlastitih istražŒivanja od unatrag 30 do 35 godina, ali da on nije imao namjeru za žŒivota nišŒta od toga publicirati, jer većina ljudi to ne bi prihvatila sa razumijevanjem. Jednom drugom prilikom izjavio je Gauss da se boji vike Beoćana, pa da zato ne će ova svoja istražŒivanja objaviti.

Mnogi zamjeraju Gaussu ovaj njegov stav. Svojim golemim autoritetom on je mogao učŒiniti da ove nove i smione ideje znatno ranije steknu opće priznanje i tako ubrzaju razvoj ne samo matematike, nego i tadašŒnjeg filozofskog shvaćanja svijeta i nauke uopće. Smatraju da u Gaussa nije bilo odvažŒnosti da se prihvaćanjem novih, revolucionarnih ideja suprotstavi metafizičŒkoj filozofiji svog vremena i tadašŒnjem apriorističŒkom shvaćanju pojma prostora i vremena. Neki opet objašŒnjavaju ovaj stav Gaussa na drugi načŒin. Tako npr. B. N. Delone u jednom čŒlanku o geometriji LobačŒevskog kaže u doslovnom prijevodu ovako: "Kod pregleda rukopisne ostavšŒtine velikog njemačŒkog matematičŒara Gaussa postalo je sigurno da je i Gauss sa svoje strane došŒao do istih zaključŒaka kao i LobačŒevski i Bolyai, a očŒito čŒak i nešŒto prije njih, no do konca svog žŒivota nišŒta od toga nije šŒtampao. Ovo se, možŒda, možŒe objasniti njegovom navikom, da mnogo godina obrađuje svoje radove i šŒtampa ih samo nakon toga, pošŒto su odležŒali i pošŒto ih je svestrano razmotrio, a o takvom principijelnom pitanju, kao šŒto je neeuklidska geometrija, trebalo je svakako dugo razmišŒljati. No, možŒda su tu bili i drugi razlozi."€

Koji bi to "€drugi razlozi"€ mogli biti, Delone nišŒta ne kazuje. Meni se čŒini posve nevjerovatnim da tako velikom učŒenjaku kao šŒto je bio Gauss ne bi dostajalo hrabrosti i odvažnosti da se suprotstavi krivom shvaćanju svoje okoline, i da joj iznese i prikažŒe pravu istinu, ukoliko bi u ispravnost svoga shvaćanja bio apsolutno siguran. No, iako je već sam Gauss neeuklidsku geometriju izgradio daleko od njenih osnovnih ideja, i pri tom nije nigdje naišŒao na neku kontradikciju, ipak ni on, a ni LobačŒevski ni Bolyai nisu imali dokaz relativne nekontradiktornosti nove geometrije s obzirom na neku drugu osnovnu opće priznatu nauku. Iako u to vrijeme osnovni principi aksiomatike nisu bili posve egzaktno i eksplicitno formulirani, u svojoj sušŒtini oni su bili sadržŒani već u filozofskim spisima Aristotela, Platona i drugih grčŒkih filozofa, pa su tako i u Gaussovo vrijeme u svojoj biti bili opće prihvaćeni. Mislim eto, da je pravi uzrok, da Gauss nije objavio svoje radove iz područŒja neeuklidske geometrije bašŒ u tome, šŒto radi pomanjkanja dokaza nekontradiktornosti nije imao apsolutne sigurnosti u istinitost svojih ideja. Vjerojatno se nadao, da će do takvog dokaza jošŒ tokom žŒivota doći, no u tom nije uspio. Prvi takav dokaz dao je tek Felix Klein dvadesetak godina iza Gaussove smrti.

Ȍini se, ipak, da je od trojice otkrivačŒa neeuklidske geometrije LobačŒevski bio onaj, koji je imao najjasniju sliku o dalekosežŒnosti ideja vezanih uz otkriće ove nove geometrije.

Vratimo se sada čŒlanku "Ekonomsko i kulturno značenje matematike" [S6] i navedimo u cjelosti njegov završŒni dio koji osobito jasno govori o gledanju i mišŒljenju profesora Bilinskog na suvremena matematičŒka kretanja. Istodobno se pokazuje šŒirina gledanja profesora Bilinskog na znastveno djelovanje koje u potpunosti uvažŒava pravo i na drugačŒije mišŒljenje od njegova.

A sad bih žŒelio ukazati na neke pojave u suvremenom razvoju matematike.

Iako smo prije zaključŒili da apstraktnost matematičŒkih teorija općenito ne umanjuje njihovu vrijednost i primjenjivost, nego običŒno tu vrijednost jošŒ i povećava, ipak treba istaći da to vrijedi samo uz izvjesna ograničŒenja.

Poticaj za stvaranje novih matematičŒkih teorija dolazi najvećim dijelom iz realnog svijeta. No, zadovoljivši čŒasovite potrebe neposredne primjene, struja matematičŒkih istražŒivanja se ne zaustavlja. Tako dolazi do sve općenitijih teorija, koje se čŒesto puta, istom mnogo godina kasnije u nekim drugim interpretacijama, pokazuju vrlo korisnima, pa čŒak i čŒisto praktičŒki primjenjivima. No čŒini mi se da u suvremenom stvaranju modernih matematičkih teorija ovaj proces ide kadgod predaleko. Uslijed mnogostrukih i uzastopnih generalizacija i posve samovoljnih aksiomatizacija dolazi u modernoj matematici do teorija koje su izgubile svaku vezu s realnošŒću, bez ikakve nade, da će do te veze jednom opet doći. Takve su teorije posve iskonstruirane, a njihova je vrijednost vrlo malena. One ne daju nikakav prilog spoznaji matematičŒke strukture svemira, nego - u najboljem slučŒaju - prilog spoznaji strukture nekih posve posebnih ljudskih misli. Po svojoj naučŒnoj vrijednosti ovakve se teorije uistinu ne razlikuju mnogo od neke partije šŒaha ili neke šahovske konačŒnice. Takva teorija možŒe biti čŒak i lijepa i dubokoumna, no po pravoj naučŒnoj vrijednosti takva teorija daleko zaostaje, npr. za nekim i najskromnijim teoremom iz područŒja elementarne geometrije. Otkriće takvog teorema značŒi, naime, pobjedu u borbi čŒovjeka s okolnim svijetom, a svaka je takva pobjeda od trajnog značŒenja za napredak ljudskog roda.

Ipak, u procjeni vrijednosti pojedinih teorija ne smijemo biti suvišŒe kruti i strogi. Osim subjektivnog intuitivnog osjećaja danas nemamo nikakav sigurni objektivni kriterij, na osnovi kojega bismo mogli donijeti kategoričŒni zaključŒak o primjenjivosti i konačnoj vrijednosti neke matematičŒke teorije. Poznata je činjenica, da se danas vrlo korisno primjenjuju mnoge matematičŒke teorije, za koje se u vrijeme njihovog nastajanja čŒinilo, da su daleko od svake realnosti. Na primjer kad je Riemann prije nekih 100 godina postavljao temelje svoje, tj. Riemannove geometrije, sigurno nije ni slutio, da udara temelje opće teorije relativnosti, pa dakle i temelje cijele moderne fizike. A kad je Boole prije nešto višŒe od 100 godina zamislio svoju, tj. Booleovu algebru, nije imao ni pojma da stvara osnove za teoriju današŒnjih račŒunskih strojeva.

Iz tih, eto, razloga razumljiva je izjava Felixa Kleina o objektima matematičŒkih istražŒivanja. Kad su ga naime zapitali, šŒto treba zapravo matematika da istražŒuje, odgovorio je, da ona treba istražŒivati sve šŒto uopće istražŒiti možŒe.

I doista putovi stvaralačŒke ljudske svijesti vrlo su složŒeni, pa bi bio štetan i opasan svaki pokušŒaj njihovog ograničŒavanja. Zato smatram da bi i svako suvišŒe usko shvaćeno planiranje naučŒne matematičke djelatnosti i ograničavanje naučne tematike donijelo višŒe trajne šŒtete, nego čŒasovitih neposrednih koristi. Da bi stvaralačŒka misao ljudska mogla doseći maksimum svog dometa, ona mora imati osjećaj potpune nevezanosti i apsolutne slobode.

U skladu s rečŒenim profesor se Bilinski uvijek ponašŒao, odnosio i djelovao, uključŒivo i u najužŒem krugu čŒlanova Geometrijskog zavoda, dopuštajući svakom svojem suradniku potpunu slobodu da do kraja samostalno odabere područŒje znanstvenog djelovanja.

Zauvijek ćemo pamtiti voljenog profesora i učŒitelja, cijenjenog kolegu i međunarodno priznatog znanstvenika, dragog prijatelja, te uvijek gospodina. Ostajemo mu zahvalni i vjerni, njemu i onome ćŒemu nas je učŒio, izravno i neizravno, kao matematičŒar i, povrh svega, kao čŒovjek.

Neka je hvala i slava profesoru Stanku Bilinskom!

Literatura / izvori

  1. Pavković, -Boris: Stanko Bilinski - Povodom 80. godišŒnjice žŒivota. Istorija matematičŒkih i mehaničkih nauka (MatematičŒki institut, Beograd) 4 (1991), 71-83.
  2. Stanko Bilinski, Ljetopis JAZU 70 (1965), 185-188.
  3. Spomenica Prirodoslovno-matematičŒkog fakulteta 1874 - 1974, PMF, Zagreb, 1974.
  4. Vučkić, -Milenko: Nastavni i znanstveni rad na područŒju matematičŒkih znanosti na Mudroslovnom, Filozofskom i Prirodoslovno - matematičŒkom fakultetu SveučŒilišŒta u Zagrebu u razdoblju 1876-1976. StogodišŒnjica nastave i organiziranoga znanstvenog rada iz područŒja matematičŒkih znanosti na SveučŒilišŒtu u Zagrebu, PMF-MatematičkŒi odjel i DrušŒtvo matematičara i fizičara SRH, Zagreb, 1977, 9–51.
  5. Hrvatski biografski leksikon , I. svezak, Jugoslavenski leksikografski zavod, Zagreb, 1983, 766-767.
  6. Stanko Bilinski, Ljetopis JAZU 90 (1987), 424-425.
  7. Hrvatski leksikon, I. svezak, Naklada leksikon d.o.o., Zagreb, 1996, 98.
  8. 120 godina nastave prirodoslovlja i matematike na SveučŒilišŒtu u Zagrebu PMF, Zagreb, 1996.
  9. Stachel, -Hellmuth: Stanko Bilinski - Nachruf mit Schriftenverzeich- nis. Almanach 1998/99 der ֖ˆsterreichischen Akademie der Wissenschaften, Bd. 149 (1999)
  10. Pavković, -B.; Volenec, -V.: In Memoriam: Stanko Bilinski [PDF], Glasnik- Mat.-Ser. III 33(53) (1998), 323-333.
  11. Polonijo, -Mirko: Akademik Stanko Bilinski - In Memoriam. KoG (Konstruktivna geometrija i kompjutorska grafika) 3 (1998), 4-€“9.
  12. Polonijo, -Mirko: Akademik Stanko Bilinski - značŒajni hrvatski geometričar. Matka 27 (1999), 159-161.
  13. Polonijo, -Mirko: Akademik Stanko Bilinski - otkrivačŒ drugog rombskog dodekaedra. MatematičŒko-fizičŒki list 4 (1998-99), 193-194.
  14. IvanšŒić, -I.: Djelatnost DrušŒtva u proteklih 40 godina - matematika. Glasnik-Mat.-Ser. III 24(44) (1989), 651-653.
  15. IvanšŒić,- I.; MardešŒić,-S.; Pavković,-B.: Pedeseta obljetnica DrušŒtva. Glasnik-Mat.-Ser. III 30(50) (1995), 373-384.
  16. Spomenica u povodu proslave 300-godišnjice SveučŒilišŒta u Zagrebu, SveučŒilište, Zagreb, 1969.

Boris Pavković i Vladimir Volenec: In memoriam Stanko Bilinski [PDF], Glasnik- Mat.-Ser. III 33(53) (1998), 323-333.

Rombic polyhedra; published in Matematičko-fizički list, LX 1 (2009. - 2010.), Zagreb, and accompaning the article below.
Many thanks to Dr. Željko Hanjš, editor in chief of the journal, for sending us the photo.

Vladimir Volenec: Rombski izoedri [PDF], Matematičko-fizički list, LX 1 (2009. - 2010.), str. 12-14.

Formated for CROWN by Darko Žubrinić
Distributed by . This message is intended for Croatian Associations/Institutions and their Friends in Croatia and in the World. The opinions/articles expressed on this list do not reflect personal opinions of the moderator. If the reader of this message is not the intended recipient, please delete or destroy all copies of this communication and please, let us know!

How would you rate the quality of this article?

Enter the security code shown below:
imgRegenerate Image

Add comment
Article Options
Croatian Constellation

Popular Articles
  1. (E) 100 Years Old Hotel Therapia reopens in Crikvenica
  2. Dr. Andrija Puharich: parapsychologist, medical researcher, and inventor
  3. Europe 2007: Zagreb the Continent's new star
  4. Violi Calvert: Nenad Bach in China to be interviewed by China Radio International
  5. Potres u Zagrebu - Earthquake in Zagreb, Croatia 28 listopad 2006 u 16:15 3.7 on a Richter
No popular articles found.